Сложни съждения и логически закони

1. Таблица на истинността (логика на сложните съждения)

Простите съждения могат да бъдат истини или неистинни. Представени чрез логически променливи X, Y (аргументи), съжденията могат да имат логическа стойност 1 или 0 - истина (И) или неистина (Н). (Затова говорим за двузначна логика!). За удобство ще ползваме цифрови означения (1,0), а не буквени (И,Н). Сложното съждение (или съчетанието на мисли) е истинно или неистинно според вида на свързването на съставляващите го прости съждения съгласно таблицата на истинността.

	X	0	0	1	1
	Y	0	1	0	1
а) конюнкция	X  ^  Y	0	0	0	1
б) вкл. дизюнкция	X  v  Y	0	1	1	1
в) изкл. дизюнкция	X  ┴  Y	0	1	1	0
г) импликация	X → Y	1	1	0	1
д) еквивалентност	X ↔ Y	1	0	0	1

а) X  ^  Y - конюнкция, логическо умножение, съюз "и" (and, &),
Конюнкцията е истинна, когато аргументите й са истинни и е неистинна във всички останали случаи.

Няма ден и няма нощ. 0 ^ 0 = 0 - неистина
Няма ден и има нощ. 0 ^ 1 = 0 - неистина
Има ден и няма нощ. 1 ^ 0 = 0 - неистина
Има ден и има нощ. 1 ^ 1 = 1 - истина

Уточнение: при конюнкцията действат пряко правилата на математическото умножение. Пример: 1 ^ 0 = 0 е аналогично на 1 х 0 = 0.

б) X  v  Y - включваща дизюнкция, логическо събиране, съюз "или" (or)
Включващата дизюнкция е истинна, когато поне един от аргументите й е истинен.

Ден е или е нощ. 1 v 0 = 1 или 0 v 1 = 1 - истина в един от двата случая

Уточнение: при включващата дизюнкция действат пряко правилата на математическото събиране, но с идеята, че се работи с логически стойности, които могат да бъдат само 1 и 0. Поради това е неправилно да кажем, че 1 v 1 = 2, както 1 + 1 = 2, защото се има предвид,  че истина + истина = истина, т.е. 1 v 1 = 1 . В останалите случаи е аналогично, пример:  1 v 0 = 1 е като  1 + 0 = 1

в) X  ┴  Y - изключваща дизюнкция, логическо изваждане, съюз "или-или" (xor)

Изключващата дизюнкция е истинна, когато нейните аргументи имат различна логическа стойност и е неистинна, когато аргументите й имат еднаква логическа стойност.

Или е ден, или е нощ. 1  ┴  0 = 1 или 0  ┴  1 = 1 - истина само в единия случай

Уточнение: при изключващата дизюнкция действат пряко правилата на математическото изваждане, но с идеята, че се работи с логически стойности,  които могат да бъдат само 1 и 0. Поради това е неправилно да кажем, че 0  ┴  1 = -1,  както 0-1=-1, а ако трябва да се обясни с близка математическа аналогия, то трябва резултатът при "изваждането" да се разбира в абсолютна стойност, представена в модул, т.е. 0-1= |1|, или неистина - истина = истина (защото, както би казал философът, истината е повече от неистината).

г) X → Y - импликация, логическо следване, "ако-то" (if-then)
Импликацията е неистинна само тогава, когато първият аргумент (основанието) е истинен, а вторият аргумент (следствието) е истина.
Ако вали дъжд, то земята става мокра. - истина
Ако не вали дъжд, то земята не става мокра. - истина
Ако вали дъжд, то земята не става мокра. - неистина (абсурд) 1 → 0 = 0
Ако не вали дъжд, то земята може да стане мокра (по други причини). - истина

Уточнение: импликацията няма аналогичен математически еквивалент, но представя причинно-следствена връзка между основание и следствие.

д) X ↔ Y - еквивалентност, равнозначност, "тогава и само тогава, когато", "само ако, то" (equalis)
Еквивалентността е истинна при еднаква стойност на свързваните мисли ( = едновременна истинност и едновременна неистинност). Тя е неистинна при различна стойност на свързваните мисли (едната истинна, а другата - неистинна).

Само ако навън е светло, то е ден. 1 ↔ 1 = 1 - истина
Само ако навън не светло, то не е ден. 0 ↔ 0 = 1 - истина

или

Когато и само тогава, когато навън е светло, е ден. - истина
Когато и само тогава, когато навън не е светло, не е ден. - истина

е) ¬ X  - логическо отрицание, инверсия, логическо "не" .
Отбелязва се с "меко тире" (¬) и съответства на математическия "минус" (-) в качеството му на определител на отрицателни стойности на числата.  X = ден е; ¬ X = не е ден
¬ 1= 0 - Отрицанието на деня е нощта.
1 = ¬0 - Денят е отрицание на нощта.

2. Закони за отрицанието на конюнкцията и дизюнкцията на Август де Морган (1806-1871 г.)
а) Отрицанието на дизюнкцията е конюнкция на отрицанията.
¬  (A v B) = ¬ A ^ ¬B
Не е вярно, че Яна учи или слуша. = Яна не учи и не слуша.

б) Отрицанието на конюнкцията е дизюнкция на отрицанията.
¬  (A ^ B) = ¬ A v ¬B
Не е вярно, че Яна учи и слуша. = Яна не учи или не слуша.

3. Основни логически закони
а) Закон за тъждеството - Правилната мисъл трябва да е тъждествена на себе си.
б) Закон за непротиворечието - Не могат да са едновременно истинни една мисъл и нейното отрицание.
в) Закон за изключеното трето - От две противоречиви твърдения едното по необходимост е истинно.
г) Закон за достатъчното основание - Истинната мисъл трябва да бъде обоснована от други мисли, чиято истинност вече е доказана.
д) Закон за двойното отрицание - От отрицанието на нещо отречено следва неговото утвърждаване. (Не е вярно, че розата не е червена. = Розата е червена.)